微分方程
1 可分离变量的方程
可以被表示为\(g(y)\mathrm dy=f(x)\mathrm dx\)的方程
求解方法：两边积分
\[ \int g(y)\mathrm dy=\int f(x)\mathrm dx \]
2 一种特殊的齐次微分方程
可以被表示为\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi(\dfrac yx)\)的方程
求解方法：令\(u=\dfrac yx\)，有\(y'=u+xu'\)，则原方程可以化为
\[ xu'=\varphi(u)-u \]
进一步可以化为
\[ \dfrac{\mathrm dx}{x}=\dfrac{\mathrm du}{\varphi(u)-u} \]
于是归结为可分离变量的方程。
3 一阶线性微分方程
形如\(y'+p(x)y=q(x)\)的方程
求解方法：公式法
\[ y= \mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx} \left[ \int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx+C \right] \]
括号内都是正的，括号外都是负的，e的指数上都是\(p\)，常数项才有\(q\).
4 线性微分方程解的结构
可以和线性方程组解的结构类比证明和记忆。
\(n\)阶线性微分方程的一般形式为
\[ y^{(n)}+\sum_{i=1}^{n} p_{i}(x)y^{(n-i)}=q(x) \]
规定\(y^{(0)}=y\). 当\(q(x)=0\)时称为\(n\)阶齐次线性微分方程。
在此特别研究二阶线性微分方程。
二阶齐次线性方程
\[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]
二阶非齐次线性方程
\[ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]
4.1 齐次方程
如果\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)是齐次方程的两个线性无关1的特解，那么
\[ y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \]
就是齐次方程的通解。
4.2 非齐次方程
如果如果\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)是齐次方程的两个线性无关的特解，\(y^*(x)\)是非齐次方程的特解，那么
\[ y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x) \]
是非齐次方程的通解。
4.3 拆分非齐次方程
如果\(y_1^*(x),y_2^*(x)\)分别是非齐次线性方程
\[ \begin{aligned} y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)\\ y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x) \end{aligned} \]
的通解，那么\(y_1^*(x)+y_2^*(x)\)是非齐次线性方程
\[ y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x) \]
的一个特解。
5 常系数线性微分方程
5.1 常系数齐次线性方程
采用特征根法求解，以二阶为例。
二阶常系数齐次微分方程一般形式为
\[ y''+py'+qy=0 \]
特征方程为
\[ r^2+pr+q=0 \]
设\(r_1,r_2\)为该方程的两个根。
\(r_1\not= r_2\)，且都是实数，通解为
\[ y=C_1\mathrm e^{r_1x}+C_2\mathrm e^{r_2x} \]
\(r_1=r_2\)，通解为
\[ y=(C_1+C_2x)\mathrm e^{r_1x} \]
\(r_1=a+\mathrm ib,\ r_2=a-\mathrm ib\)为共轭复根，通解为
\[ y=\mathrm e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx) \]
其实还是
\[ y=\sum_{i=1}^n \mathrm C_ie^{r_i} \]
只是有复数时要用欧拉公式展开。
5.2 二阶常系数非齐次线性方程
二阶常系数非齐次微分方程一般形式为
\[ y''+py'+q=f(x) \]
若\(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\)，其中\(P_m(x)\)为\(x\)的\(m\)次多项式，那么特解可以表示为
\[ y^*(x)=x^kQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x} \]
其中\(k\)是\(\lambda\)作为特征方程根的重数（如果不是按0重计算），\(Q_m(x)\)是与\(P_m(x)\)同次的多项式。
若\[f(x)=\mathrm e^{ax}[P_l^{(1)}(x)\cos bx+P_n^{(2)}(x)\sin bx]\]其中\(P_l^{(1)},P_n^{(2)}\)分别是\(x\)的\(l,n\)次多项式，则特解可以表示为
\[ y^*(x)=x^k\mathrm e^{ax}[R_m^{(1)}(x)\cos bx+R_m^{(2)}(x)\sin bx] \]
其中\(R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)\)是两个\(m\)次多项式，\(m=\max\{n,l\}\).
\[ k=\left\{\begin{aligned} 0&,a+\mathrm ib\text{不是特征方程的根}\\ 1&,a+\mathrm ib\text{是特征方程的单根} \end{aligned}\right. \]
6 差分方程
函数\(f(x)\)定义在数列\(\{x_n\}\)上，令\(y_n=f(x_n)\)，定义\(\Delta\)为差分算子，即\(\Delta y_n=y_n-y_{n-1}\).
称形如
\[ F(x_n,\Delta y_n,\Delta^2 y_n,\cdots,\Delta^n y_n)=0 \]
的含有因变量的差分的方程为差分方程。
把数列看成定义在自然数子集上的函数，可以看出差分方程和递推关系完全等价。
6.1 解差分方程
微分可以看作特殊的差分过程，作为差分在连续统上的一种推广。一阶线性微分方程可以通过离散化精确地写成递推关系的形式。
更详细可以看Wiki
\[ u_n=\sum_{i=1}^k a_iu_{n-i}+f(n) \]
称为\(k\)阶常系数递推关系。
使用特征根法解上面的递推关系。
6.2 特征根法
将递推关系式
\[ u_n-a_1u_{n-1}-a_2u_{n-2}-\cdots-a_k-u_{n-k}=0 \]
改写为如下的特征方程
\[ x^k-a_1x^{k-1}-\cdots-a_{k-1}x-a_k=0 \]
有如下定理
设\(q\in C\)且\(q\not=0\)，\(u_n=q^n\)是递推关系的一个解当且仅当\(q\)是特征方程的一个根。\(q\)称为递推关系的一个\(m\)重特征根，当\(q\)是特征方程的\(m\)重根，简称特征根。
设\(g_i(n)\)都是递推关系的解，那么它们的线性组合也是递推关系的解
如果递推关系有\(k\)个彼此相异的特征根\(q_1,q_2,\cdots,q_k\)，那么
\[ u_n=c_1q_1^n+c_2q_2^n+\cdots+c_kq_k^n \]
是递推关系的通解。
6.2.1 有重根时的常系数线性齐次递推关系解法
设\(q\)是递推关系的一个\(m\)重特征根，那么
\[ u_n=n^jq^n,j=0,1,2,\cdots,m-1 \]
都是递推关系的解。
设递推关系有\(t\)个相异的特征根\(q_1,q_2,\cdots,q_t\)，其中\(q_i\)是\(e_i\)重根，\(i=1,2,\cdots,t\). 令
\[ h_i(n)=c_{i1}+c_{i2}n+\cdots+c_{ie_i}n^{e_i-1} \]
那么递推关系的通解为
\[ u_n=h_1(n)q_1^n+h_2(n)q_2^n+\cdots+h_t(n)q_t^n \]
6.2.2 两类特殊常系数非齐次线性递推关系的解
- \(f(n)\)是\(n\)的\(m\)次多项式，如果1是递推关系的\(i\)重特征根（如果不是特征根那么按0重计算）那么\(n^ig(n)\)是递推关系的一个特解，其中\(g(n)\)是一个\(m\)次多项式，系数应通过待定系数法解出。
- \(f(n)=c\cdot a^n\)，其中\(c,a\)均为非零常数。如果\(a\)是递推关系的\(i\)重特征根（如果不是特征根那么按0重计算）那么\(A\cdot n^ia^n\)是递推关系的一个特解，其中系数\(A\)应通过待定系数法解出。
6.3 参考
华南理工大学出版社《组合数学》曹汝成，第三章第二节，递推关系
脚注
线性无关即不成比例↩︎