矩阵

1 二阶矩阵的特征值

二阶矩阵的特征多项式\(|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=0\)为

\[ \lambda^2-tr(\boldsymbol A)\lambda+\det(\boldsymbol A)=0 \]

其中\(tr(A)\)为矩阵的迹，\(\det(A)\)为矩阵的行列式。

只要解该方程即可。

2 乘积为零矩阵时秩的信息

若对\(m\times n\)阶矩阵\(\boldsymbol A\)和\(n\times k\)阶矩阵\(\boldsymbol B\)有

\[ \boldsymbol A\boldsymbol B=\boldsymbol0 \]

则有

\[ r(\boldsymbol A)+r(\boldsymbol B)\leq n \]

证明

将\(\boldsymbol B\)按列分块，得到\(\boldsymbol B=[\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\cdots,\boldsymbol\beta_k]\)

则有

\[ \boldsymbol{A\beta_i}=\boldsymbol0 \]

则向量组\(\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\cdots,\boldsymbol\beta_k\)可以被\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol0\)的基础解系线性表出，故\(r(\boldsymbol B)\leq n-r(\boldsymbol A)\)，即\(r(\boldsymbol A)+r(\boldsymbol B)\leq n\)

3 矩阵多项式的特征值

若\(\lambda\)是\(\boldsymbol A\)的特征值，那么\(\varphi(\lambda)\)是矩阵多项式\(\varphi(\boldsymbol A)\)的特征值。

4 对角矩阵

4.1 矩阵的相似对角化

如果一个矩阵相似于对角矩阵，那么它可以写为

\[ \boldsymbol A=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol\Lambda\boldsymbol P \]

其中\(\boldsymbol P\)是各个特征向量组成的矩阵，它们和\(\boldsymbol\Lambda\)中各自的特征值一一对应。

4.2 矩阵相似对角化的条件

如果\(k\)阶方阵拥有\(k\)个线性无关的特征向量，则其相似于对角矩阵。

对于具体的情况

• 实对称矩阵必能对角化
• 若矩阵有\(k\)个不同的特征值，则其也必能对角化
• 若矩阵的每个\(i\)重特征值都拥有\(i\)个线性无关的特征向量，那么它也必能对角化

4.3 特征值

对角矩阵的特征值是对角线上所有元素，重复按重根计算。

4.4 秩

对角矩阵的秩等于对角线上非零元的个数。

推论 1 如果一个矩阵相似于对角矩阵，则它的秩等于非0特征值的个数，重根按重数计算。

5 伴随矩阵

5.1 秩

\(n\)阶矩阵\(\boldsymbol A\)的伴随矩阵为\(\boldsymbol A^*\)，它的秩为

\[ r(\boldsymbol A^*)=\left\{\begin{aligned} n,&\text{ if }r(\boldsymbol A)=n,\\ 1,&\text{ if }r(\boldsymbol A)=n-1,\\ 0,&\text{ if }r(\boldsymbol A)<n-1 \end{aligned}\right. \]

6 秩1矩阵

设矩阵\(\boldsymbol A\)的秩为1，那么它有如下一些性质

6.1 可分解性

\(\boldsymbol A\)一定可以被分解为两向量之积，即

\[ \exists\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\text{使得}\boldsymbol A=\boldsymbol\alpha^T\boldsymbol\beta \]

且

\[ \boldsymbol\beta^T\boldsymbol\alpha=tr(\boldsymbol A) \]

推广

如果\(r(\boldsymbol A)=k\)则\(\boldsymbol A\)可以被分解为一\(m\times k\)和秩\(k\)矩阵\(\boldsymbol M\)和一\(k\times n\)的秩\(k\)矩阵\(\boldsymbol N\)之积

6.2 特征值

如果\(\boldsymbol A\)是\(n\)阶方阵，其特征值为\(n-1\)个0和\(tr(\boldsymbol A)\).

6.3 相似对角化

\(\boldsymbol A\)一定可以相似对角化，其中\(n\)个0对应\(n\)个线性无关的特征向量。

6.4 幂乘

\[ \boldsymbol A^n=tr(\boldsymbol A)^{n-1}A \]

7 实对称矩阵

对于有限维实对称矩阵（下面简称对称矩阵），有如下性质

7.1 特征向量正交性

对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。

7.2 特征向量个数

对称矩阵特征根的代数重数和几何重数相等，即\(i\)重特征根必然对应\(i\)个线性无关的特征向量。

注释

根据矩阵相似对角化的条件，对称矩阵必可相似对角化

且由 推论 1 ，对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数，重根按重数计算。

7.3 特征值和特征向量

对称矩阵的特征值均为实数，特征向量均为实向量。