积分

1 定积分定义

在区间\([a,b]\)上做分划 \[ a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b \] 令\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)，任取\(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\)，只要\(\lambda=\mathrm{sup}\{\Delta x_i\}\to 0\)时，和式 \[ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i \]

的极限存在，那么称和式为\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分，记做 \[ \int_a^b f(x)\mathrm{d}x. \]

2 构造定积分

\[ \int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\dfrac1nf(\dfrac in) \]

极限，求和，\(\dfrac in\)就是\(\xi_i\)，\(\dfrac 1n\)就是\(\Delta x_i\)，就是把区间\([0,1]\)分为了\(n\)份，符合定积分定义因此这个极限就是定积分。

注释

看到极限后求和就要想到积分。

3 不太好记的不定积分

注意

不定积分一定要记得带\(C\)

注意

看到这类积分是定积分时一定要先考察是否是奇函数

• \(\int\dfrac{1}{a^2-x^2}\mathrm dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{a+x}{a-x}\right|+C\)
• \(\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\)
• \(\int\dfrac{1}{1+\cos x}\mathrm dx=\tan\dfrac t2+C\)

4 三角函数定积分的一个结论

\[ \int_0^{\frac \pi2}\sin^nx\mathrm dx= \int_0^{\frac \pi2}\cos^nx\mathrm dx= \left\{ \begin{aligned} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac\pi2,\text{当n为偶数}\\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!},\text{当n为奇数} \end{aligned} \right. \]

论证. 见此

5 旋转体体积

\[ V=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm dx \]

6 含参变量积分求导

本节参考自南京大学数学分析教材第十六章

设\(f(t,x)\)以及\(f_x(t,x)\)均在\([a,b]\times[c,d]\)上连续，如果\(a(x),b(x)\)均关于\(x\)可微，那么\(F(x)\)关于\(x\)可微，且

\[ F'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f_x(t,x)\mathrm dt+f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x) \]

示例

• \[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f(t)\mathrm dt=f(x)\]
• \[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)\mathrm dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)\]
• \[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^b f(t,x)\mathrm dt=\int_a^b f_x(t,x)\mathrm dt\]