二元函数的微分

考研数学
高数
作者

Kengroo1024

发布日期

2024年3月11日

修改的

2024年4月4日

1 基本概念

  • 开集，不包含其边界的点集是开集
  • 闭集，包含其边界的点集是闭集
  • 区域，连通的开集是区域
  • 闭域，区域连同其边界是闭域

2 二元函数的极限

2.1 定义

设函数\(f(x,y)\)在区域\(D\)上有定义，\(P_0(x_0,y_0)\)在\(D\)中或其边界上。如果\(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\)，对\(D\)中任一点\(P\)，只要\(|PP_0|<\delta\)，都有

\[ |f(x,y)-A|<\epsilon \]

成立，那么就称\(A\)是\(f(x,y)\)在\((x,y)\to(x_0,y_0)\)时的极限，记做

\[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A \]

或

\[ \lim_{P\to P_0}f(P)=A \]

2.2 计算

2.2.1 累次极限法

上面定义的极限称为重极限。

还有一种极限称为累次极限，即各自变量按一定的顺序取极限，类似下面的样式

\[ \lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y) \]

对于重极限和累次极限，有下列重要定理：

  1. 如果改变积分次序，累次极限的值改变，那么重极限不存在
  2. 重极限和累次极限可能都存在，也可能都不存在，也可能其中一个存在另一个不存在。
  3. 如果累次极限交换顺序后值都相等，且重极限存在，则累次极限和重极限必然相等。

2.2.2 按路径逼近法

可以让点通过某条路径，如一条直线（如\(y=kx\)），来逼近极限，多了一个关系限制以后就可以消元降重，使得重极限变为一般的极限。

对于路径逼近法，有下列定理：

如果从两条不同的路径逼近重极限，得到的极限值不同，则重极限不存在。

2.2.3 定义法

按路径逼近法就是定义法的推论。

2.3 一个结论

对于极限

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^py^q}{x^m+y^n} \]

有如下结论：

  1. 如果\(m,n\)不全为偶数，则该极限不存在
  2. 如果\(m,n\)全为偶数，再分为两种情况
    1. 若 \[ \dfrac{p}{m}+\dfrac{q}{n}\leq1 \] 则该极限不存在，且此时只需要取路径\(y=kx^{\frac{m-p}{q}}\)即可证明极限不存在。
    2. 若 \[ \dfrac{p}{m}+\dfrac{q}{n}\gt1 \] 则该极限的值为\(0\).
提示

举例，经典极限

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2} \]

不存在

3 多元函数的连续性

如果函数\(f(x,y)\)在定义域内一点\(P_0\)有

\[ f(P_0)=\lim_{P\to P_0}f(P) \]

就称\(f(x,y)\)在\(P(x_0,y_0)\)处连续。

如果连续性在区域\(D\)上每一点都成立，就说\(f(x,y)\)在\(D\)上连续。

3.1 连续的几个性质

  1. 最值定理，有界闭域上的连续函数必有最大值和最小值
  2. 介质定理，有界闭域上的连续函数必能取遍最大值与最小值之间的所有值
  3. 零点存在性定理，如果定义在有界闭域\(D\)上的函数\(f(x,y)\)，\(\max_{(x,y)\in D}\{f(x,y)\}>0\)，\(\min_{(x,y)\in D}\{f(x,y)\}<0\)，则\(\exists(x_0,y_0)\)s.t.\(f(x_0,y_0)=0\)

4 偏导数

4.1 定义

设函数\(f(x,y)\)在点\(P(x_0,y_0)\)的某邻域上有定义，如果极限

\[ \lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \]

存在，则称该极限为函数在点\(P\)处的偏导数，记做

\[ \left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x,y)=(x_0,y_0)}\text{或}f_x(x_0,y_0) \]

同理可以定义\(f\)对\(y\)的偏导数。

注释

偏导数就是把一个变量看成常数对另一个变量进行求导，因此无关变量的取值并不影响最后的结果，即

\[ \left.f_x(x,y)\right|_{(x,y)=(x_0,y_0)}=\left.f'(x,y_0)\right|_{x=x_0} \]

分段函数分段点处的偏导数只能按定义求，只能按定义求，只能按定义求！！！

5 对于偏导数符号\(\partial\)的理解

偏导数符号\(\partial\)读做“偏”（英文partial），只是用来表示偏微分运算的符号，其实并不是任何语言中的字母。

偏微分符号\(\partial\)其实和微分符号\(\mathrm d\)表达的意义完全相同，只是为了特别表示偏微分运算，和一般的微分符号做出了区别。

6 多元函数可导与可微之间的区别

多元函数的“可导”仅仅是可以求偏导，可微才能和一元函数的可微可导等同。（对于一元函数，可导和可微是等价的。）

因此多元函数的可导不能等于可微，也不能导出连续。但是可微可以导出连续。

6.1 高阶偏导数的性质

如果函数\(f(x,y)\)的高阶偏导数对复数个变量求偏导，则称此偏导数为混合偏导数。

6.1.1 混合偏导数求导次序的问题

以二阶混合偏导数为例，偏微分算子

\[ \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y) \]

表示先对\(y\)求偏导，再对\(x\)求偏导，求导次序从左向右。

如果函数的同阶偏导数，即分母上的各变量个数不不变而次序不同的偏导数都连续，则偏导数的值与求导次序无关，以二阶混合偏导数为例用数学语言表述为下面的定理

如果\(f(x,y)\)全部的两个二阶混合偏导数而言\(\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}\)和\(\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}\)在区域\(D\)上连续，则\(\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}\)在\(D\)上成立。

高阶混合偏导数的定理可以仿照此写出。

7 全微分

7.0.1 判定

定义法判定\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)是否可微

  1. 先判定\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)是否存在，如果不存在则不可微，如果存在进入下一步
  2. 计算极限 \[ \lim_{(\mathrm dx,\mathrm dy)\to(0,0)}\dfrac{f(x_0+\mathrm dx,y_0+\mathrm dy)-f(x_0,y_0)-(f_x(x_0,y_0)\mathrm dx+f_y(x_0,y_0)\mathrm dy)}{\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}}=0 \] 是否成立。如果成立则可微，不成立则不可微。
  3. 如果逼近的点是\((0,0)\)，那么上述极限可进一步改写为 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)-(f_x(0,0)x+f_y(0,0)y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \]

从上面的判定过程可以看出，函数在一点可微，则在这一点处关于各个变量的一阶偏导都存在，但不保证它们都连续。

全微分充分条件：

如果\(f(x,y)\)的偏导数\(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\)在点\((x_0,y_0)\)处都连续，则函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微。

上述命题的逆否命题为：

如果函数在一点不可微，则它的偏导数不连续。

总结一下多元函数的连续，可偏导，和可微

graph LR
subgraph A[正向推导]
direction TB
可微--->连续 & 可偏导
一阶偏导数连续--->可微
end

subgraph B[反向推导]
direction TB
不连续 & 不可偏导--->不可微
不可微--->一阶偏导数不连续
end

注意表中没有连线的节点表示根本无关。

8 偏微分链式法则和一阶全微分的形式不变性

设\(z=z(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)\)

  1. 偏微分的链式法则

    \[ \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y} \end{aligned} \]

  2. 一阶全微分的形式不变性

    \[ \begin{aligned} \mathrm dz&=\dfrac{\partial z}{\partial x}\mathrm dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}\mathrm dy\\&=\dfrac{\partial z}{\partial u}\mathrm du+\dfrac{\partial z}{\partial v}\mathrm dv \end{aligned} \]

  3. 高阶全微分不具有形式不变性。这是显而易见的。

9 隐函数微分

隐函数微分利用形式不变性，如果隐含数是由

\[ F(x,y)=0 \]

确定的，那么函数微分表达为

\[ y'=-\dfrac{F_x}{F_y} \]

如果函数是由\(F(x,y,z)=0\)确定的，那么函数微分表达为

\[ \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_y} \]

10 极值和最值

讨论可导函数。

10.1 无约束情况

求偏导，极值点为所有一阶偏导数为0的点。

10.2 有约束极值

用拉格朗日乘数法转化为求方程组的解。

11 拉格朗日乘数法

对于函数\(F(x_1,x_2,...,x_n)\)，在约束

\[ \left\{ \begin{aligned} \varphi[1](x_1,&x_2,...,x_n)=0\\ \varphi[2](x_1,&x_2,...,x_n)=0\\ &\vdots\\ \varphi[k](x_1,&x_2,...,x_n)=0 \end{aligned} \right. \]

下求极值。

定义拉格朗日函数

\[ L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k)=F(x_1,x_2,...,x_n)+\sum_{i=1}^k \lambda_i\varphi[k](x_1,x_2,...,x_n) \]

则拉格朗日函数的极值点对应原函数的极值点。求出各个一阶偏导后令其等于0，带入原函数计算出极值即可。（拉格朗日函数的极值也和原函数极值相等，不过计算会有一点麻烦。）