特征向量

1 逆矩阵的特征值和特征向量的对应关系

可逆矩阵的特征值和特征向量和其逆矩阵一一对应，它们的特征值互为倒数，特征向量不变。

2 判断特征根重数的一种方法

条件：n阶方阵\(\boldsymbol A\)可相似对角化，或者干脆就是对角矩阵。

行为：把待验证的特征值\(\lambda_0\)带入矩阵\(\boldsymbol A-\lambda\boldsymbol E\)中。

结论：\(\boldsymbol A-\lambda_0\boldsymbol E\)的秩\(r\)与该特征值所对应的线性无关的特征向量个数\(k\)的关系为

\[ k=n-r \]

该命题的逆命题也成立，实际上，它的逆命题就是矩阵相似对角化的条件

3 几何重数和代数重数

代数重数，即解特征方程时特征根的重数。

几何重数，即特征值对应的解空间的维数，也就是特征根对应的线性无关的特征向量的个数。

关系：代数重数\(\geq\)几何重数\(\geq1\)

当所有特征根的代数重数与几何重数都相等时，矩阵可相似对角化。这是更为普适的条件，可以适用于复矩阵。

4 判断向量是否是特征向量

如果\(\boldsymbol{Ap}\)与\(\boldsymbol p\)共线，那么\(\boldsymbol p\)是\(\boldsymbol A\)的特征向量。